使い方
「画面で解く」では、因数分解する式が1問ずつ表示され、答えは積の形で入れます。画面のキー（文字・数字・＋・−・²・かっこ）で、(x＋2)(x−3) のように組み立てます。入れた式は、教科書と同じ書き方でそのまま表示されます。パソコンでは「(x+2)(x-3)」のようにキーボードからも入れられます。数の計算を工夫する問題だけは、数字キーで数を答えます。
判定では、まず展開すると同じ式になるかを調べ、そのあと、これ以上分解できない形かを見ます。(x＋2)(x−3) と (x−3)(x＋2) のように、因数の順番が違っても○です。2x²−8 の答えを 2(x²−4) と入れると「展開すると同じですが、まだ因数分解できます」、x²−4 のまま入れると「展開した形になっています」と表示され、×になります。設定の「式の形」で、x だけ・係数つきの平方・2文字を含む式を選べます。
因数分解の手順と例題
因数分解は、展開の逆の操作です。①まず共通因数をくくり出す。②残りが公式の形なら公式を使う。③最後に、これ以上分解できないか確かめる。
公式 x²＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)、x²＋2ax＋a²＝(x＋a)²、x²−2ax＋a²＝(x−a)²、x²−a²＝(x＋a)(x−a)。
例題1 x²＋5x＋6。たして5、かけて6になる2数は2と3なので (x＋2)(x＋3)。例題2 x²−6xy＋9y²＝(x−3y)²。例題3 4x²−12x＋9＝(2x−3)²、9x²−25＝(3x＋5)(3x−5)。例題4 2x²−8は、共通因数2でくくって 2(x²−4)、さらに公式で 2(x＋2)(x−2) です。
置き換えと数の計算
(x＋1)²−5(x＋1)＋6 は、x＋1 を M とおくと M²−5M＋6＝(M−2)(M−3)。M をもどして (x−1)(x−2) です。公式は数の計算にも使えます。57²−43²＝(57＋43)(57−43)＝100×14＝1400。
つまずきやすい点
共通因数をくくり忘れて、2x²−8 を途中で止めてしまう間違いが多く見られます。くくったあとのかっこの中に、さらに公式が使えないかを必ず確かめましょう。「たして＿、かけて＿」の符号の取り違えも多く、かけて負の数なら、2数の符号は反対です。置き換えでは、M をもとの式にもどしたあと、かっこの中を整理し忘れる例が目立ちます。答えを展開して、もとの式にもどれば、正しく因数分解できています。
問題の種類
- 共通因数をくくり出す：3ax−6ay、6x²−9x のような式。文字を含む共通因数も出ます。
- 乗法公式の逆：x²＋(a＋b)x＋ab、平方（x²−6xy＋9y²、4x²−12x＋9）、和と差の積（9x²−25）。
- 共通因数＋公式：2x²−8、3ax²−6ax−9a のように、2段階で因数分解します。
- 置き換えと数の計算への利用（発展）。
x² の係数が1でない一般の2次式（ax²＋bx＋c で a が平方数でないもの）は、高校の内容になるため出しません。
練習の進め方
「基本」で、共通因数と公式の形を見分ける練習をします。次に「標準」で係数つきの平方と共通因数＋公式、「発展」で2文字・置き換え・数の計算へ進みます。間違えた問題は、解き方の「共通因数をさがす」「公式を使う」の行を自分の手順と見くらべ、どの段階で止まったかを確認します。展開の単元とセットで取り組むと、逆の操作として理解が深まります。
よくある質問
因数の順番や符号の書き方が違っても○ですか？
○です。(x＋2)(x−3) と (x−3)(x＋2)、また (2−x)(−x−2) のように2つの因数の符号を変えた書き方も、同じ式で、これ以上分解できなければ正解にします。
(x＋2)² と (x＋2)(x＋2) はどちらも正解ですか？
どちらも○です。
たすきがけは出ますか？
出ません。この単元には、たすきがけが必要な式は含まれません。
「形は問わず、式が同じなら正解にする」を使うとどうなりますか？
展開した形や、途中までの因数分解でも、式が同じなら○になります。形をきびしく見たいときは、チェックをはずしておきます。
中学数学プリントのほかの単元
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